Am 19. Juli 2008 brachte mein Freund Dr. Matthias Koch ein kleines mathematisches Problem zu meiner Geburtstagsfeier mit: Gegeben sei ein Fahrzeug, das zum Zeitpunkt t=0 mit einer Initialgeschwindigkeit von 100 km/h fährt. Während seiner Fahrt verliert es kontinuierlich an Geschwindigkeit, wobei es pro gefahrenem Kilometer um 1 km/h langsamer wird. Die Frage lautet: Wie lange dauert es, mit diesem Fahrzeug eine Strecke von 50 km zurück zu legen? Zunächst ist klar, dass dv /ds = -1, da der Graph der gegen die Strecke abgetragenen Geschwindigkeit linear, mit v = 100 km/h bei s = 0 km beginnend, fällt und bei s = 100 km den Wert 0 km/h erreicht. Offensichtlich erreicht man niemals den Punkt s = 100 km, was aber gar nicht zur Fragestellung gehört. Wenn man nun die Geschwindigkeit gegen die Zeit abträgt, wird klar, dass v(t) die Gestalt exp(-t) besitzen muss, da die Geschwindigkeit bei jeder Entfernung s den Wert 100 - s besitzt. Da die Fahrtstrecke zu jedem Zeitpunkt t gerade dem Zeitintegral über v(t) entspricht, das die Form 100 * exp(-x) besitzt, kann man ![]() ![]() So nett eine analystische Lösung ist, wäre doch ein analoges Modell des Problems noch wesentlich netter. :-) Was also benötigt wird, ist eine Rechenschaltung zu obigem Problem. Wenn wir ein skaliertes Problem unterstellen, bei dem 100 km durch den Wert 1 repräsentiert werden, ergibt sich v(t) = 1 - s(t), wobei s(t) gerade dem Zeitintegral über v(t) entspricht. Die Rechenschaltung ist ausgesprochen einfach: ![]() Der untere Integrierer liefert das Zeitintegral über -1, so dass an seinem Ausgang direkt die benötigte Fahrzeit in Stunden abgelesen werden kann. (Verwendet wurde übrigens ein Analogrechner des Typs Telefunken RA 742.)
![]() Als Zeitspanne ergibt sich (mit einem Digitalvoltmeter ist natürlich eine deutlich höhere Ablesegenauigkeit möglich) ![]() |
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20-JUl-2008, 21-DEC-2008, 19-FEB-2016, ulmann@analogmuseum.org |